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数学名人名题故事41之晏子设计“二桃三杀士”

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Z靖宇 发表于 2018-10-21 10:33:55 | 显示全部楼层 |阅读模式
Z靖宇
2018-10-21 10:33:55 1009 0 看全部
【名人故事】

      同学们,你听过晏子的名字吗?晏子原名晏婴,晏子是人们对他的尊称(像老子、孔子一样)。他是我国春秋战国时期齐国的一位宰相,虽然其貌不扬,但能言善辩、足智多谋。下面要讲的“二桃三杀士”就与晏婴有关。
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      齐景公门下有三名武功超群的勇士,他们虽然立过不少功劳,但却居功自傲,目中无人,横行霸道。于是齐国的宰相晏子想除掉他们。晏婴知道,用武力绝对制服不了三人,只能用别的计谋。于是,他请齐景公赏赐三名勇士两个桃子,并且吩咐说:“请你们自己按各人功劳的大小分配桃子吧!”

      三名勇士都觉得单独吃个桃子受之无愧,否则,就意味着自己的功劳不大,有失勇士的面子。但如果其余两位合吃一个桃子或有一个人没有桃子,则使他们有夸耀自己而羞辱朋友、损哥儿们义气之嫌。他们左右为难,便都赌气自杀了。

      晏子不费吹灰之力便达到了预期的目的,这实在算得上一个“阴谋”。其实,这个“阴谋”背后却藏着一个重要的数学原理——抽屉原理。
      晏子是怎样运用抽屉原理的?让我们一起来研究一下。
      在“二桃子三杀士”的故事中,把桃子看作“抽屉”,勇士看作“苹果”,那么至少有一只“抽屉”里的苹果数不少于2个,即至少有2名勇士只能吃1个桃子,所以就有了“二桃三杀士”的故事。
      原理由于形象直观,因此灵活性极大,应用面极广。利用抽屉原理可以解决一些实际问题。

      把17个苹果放入3只抽屉里,那么总有1只抽屉里至少放入了6个苹果。试着用抽屉原理来说明。

      同学们是怎样研究的呢?实际上,17个苹果平均放入3只抽屉,平均每只抽屉分得5个,还剩2个。再把这2个苹果任意放入2只抽屉,至少有1只抽屉里放入6个苹果。如果用算式可以表示为:
      17÷3=5(个)……2(个)   
      5+1=6(个)
      所以可以这样来概括抽屉原理:
      n个苹果放入m只抽屉里(n>m),如果n是m的倍数,那么至少有1只抽屉里苹果数不少于n/m;如果n不是m的倍数,那么至少有1只苹果梨的苹果数不少于【n/m】+1(其中【n/m】表示取n/m的整数部分)个。
【小试牛刀】
      抽屉原理在数学研究领域得到广泛的应用19世纪德国数学家狄利克雷,所以抽屉原理又称为狄利克雷原理。


      某校五年级学生共367人,可以断言,其中至少有两个同学的生日是同一天出生的。请你说明其中的道理。

      在这道题中,谁是“抽屉”?谁是“苹果”?在解决抽屉原理的过程中,确定“抽屉”和“苹果”是非常关键的一步。下面让我们一起来探究一下,看看和你想的是否一致。
      把一年365天(闰年366天)的每一天看作一个“抽屉”,把每一个学生看成一个“苹果”。出生在同一天的学生是放在同一个“抽屉”中的“苹果”。根据抽屉原则,【367/366】(取整数部分)+1=2,即其中至少有两个同学师同一天出生的。
      你们是这样思考的吗?下面再来欣赏一下利用抽屉原理来解决实际问题的一个案例。

      黑、白、黄三种颜色的袜子各有若干只,在黑暗处至少拿出几只袜子才能保证有一双是同一颜色的?

      由于三种颜色的袜子混杂在一起,为了确保取出的袜子中有一双是相同颜色的袜子,可以把黑色、白色、黄色三种颜色看作3个“抽屉”,则袜子是待分物品,先在每个抽屉中放入一只袜子,只要再任意取一只袜子就可以和前面三只中的一只配成一双。所以至少拿出四只袜子就能保证时同一颜色的。
    抽屉原理的内容简明朴素,易于接受。它在解决数学问题中有重要的作用,有时候需要你在解题时自己构造“抽屉”。


      体育用品仓库里有若干足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球。至少有几名同学所拿的球类是一样的?


      根据“每个人至少拿1个球,至多拿2个球”的规定,同学拿球的组合方式共有以下9种:
      {足};{排};{篮};{足、足};{排、排};{篮、篮};{足、排};{足、篮};{排、篮}。
      以上9种组合方式看成9个抽屉,将这50个同学看作苹果:
      50÷9=5(只)……5(只)
      所以至少有(5+1)人所拿的球类是完全一致的。
      利用抽屉原理,还可以判别数的运算中的一些特征。


      对于任意的5个自然数,试说明其中必有3个数的和是3的倍数。


      任何自然数除以3所得的余数只能是0、1、2.不妨将它们分别看成3个抽屉:
      {0};{1};{2}。
      1.若这5个自然数除以3后所得的余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别含有余数为0、1、2的数),从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3、4、5),其和(3+4+5=12)必是3的倍数。
      2.若这5个数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉,包含有3个数(抽屉原理),而这三个余数相同的数的余数的和或为0,或为3,或为6,所以对应的3个自然数的和是3的倍数。
      3.若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,必有3个自然数之和是3的倍数。
      看完上面的例题,我们来总结一下用抽屉原理解决问题的思路:
      1.分析“抽屉”表示什么,“苹果”表示什么。
      2.把苹果平均地放入抽屉中,如果有余数,必有“商(取整数部分)+1”个苹果在同一个抽屉中。
【大展身手】
      1.一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,在这52张牌(除去大、小王)中任意抽牌。最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?
      2.学校五(1)班40名学生中,年龄最大的是13岁,最小的是11岁,那么其中至少有几名学生是同年同月出生的?
      3.有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里。为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取几颗?
      4,有11名学生到老师家中借书,老师的书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试说明:必有两个学生所借书的类型相同。


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